反渗透膜元件的性能（二）

5.1.5 什么是反渗透膜元件的理想运行模型？ 

卷式反渗透膜元件也可以理解为展开后具有H（m）宽度与L（m）长度的板式膜元件。膜元件理想 结构中存在给水、浓水与淡水等三个端口，且分别存在水压力p、水流量Q与盐浓度c三项参数。 如图5.1.5所示，膜元件理想结构内部，将流程长度l处至流程长度l+Δl处的给/浓水流道横截面称 为“膜微元”，其中Δl为膜微元长度。在流程长度l处的给/浓水区中具有给/浓水压力p（l）、水流量q（l）及盐浓度c（l）三个函数，在流程长度l处的淡水区中还存在水压力p″（l）、盐浓度c″（l）及产水线通量θ（l）三个函数。这里，θ（l）表征流程长度l处膜微元单位膜面积（H×Δl）中产出淡 水量与膜微元长度Δl的比值。

膜微元中水体的流动必然遵循流体力学中的三大守恒定律。 膜微元的水量守恒表现为膜微元给水侧切向水流量q（l）等于浓水侧切向水流量q（l+Δl）与淡水侧垂向水流量θΔl之和。该函数关系经整理可得

膜微元的盐量守恒表现为膜微元的给水侧切向盐流量c（l）q（l）等于浓水侧切向盐流量c（l+Δl）q（l+Δl）与淡水侧垂向盐流量c″（l）θ（l）Δl之和。该函数关系经整理可得

膜微元的动量守恒表现为给水侧切向水压力p（l）等于浓水侧切向水流量p（l+Δl）与膜微元切向压力损失Kq（l）Δl之和。设K为膜元件给/浓水流道中的压力损失系数，则膜微元的动量守恒函数关系经整理可得

膜元件的能量守恒表现为给水径流的输入机械能p₁Q₁等于浓水与淡水径流的输出能p₂Q₂与p₃Q₃及膜元件内部的能量损耗，即有膜元件中水体流动的能量守恒关系

反渗透膜的透水线通量与膜两侧水体的水力压差正相关，且与膜两侧水体的渗透压差负相关。设N为特定常数，β（l）=eNθ（l）/q（l）为元件流程l处膜微元中膜表面水体的浓差极化指数，A为膜元件的透水系数，则膜微元的透水线通量为

反渗透膜的透盐线通量与膜两侧水体的盐浓度差成正比，故膜微元的透盐线通量关系为

式中，B为膜元件的透盐系数，L/（m·h）。 

膜元件的理想结构模型中，总是假设淡水区足够宽，淡水径流的压力损失忽略不计，即元件流程各处膜微元淡水侧的水压力均与淡水区出口处水压力相等

这里，一般取膜元件淡水侧水压力p₃=0，而当存在淡水背压时p₃>0。 膜元件全流程中各处膜微元淡水侧的水流量θ（l）Δl之和将形成膜元件的产出水流量Q₃

膜元件全流程中各处膜微元淡水侧的盐流量θ（l）c″（l）Δl之和将形成膜元件的产出盐流量c₃Q₃

上述式（5.1.5-1）～式（5.1.5-9）分别表征反渗透膜元件运行规律的不同侧面，共同构成膜元件运 行数学模型9个方程的微分方程组。该方程组中共有A、B、K等3个待求系数与p、q、c、p″、θ、c″ 等6个待求变量，共计9个待求量。 由于式（5.1.5-1）～式（5.1.5-3）的微分方程组中存在dp/dl、dq/dl、dc/dl三个导数，求解微分方程 则需要三个独立的边界条件。膜元件的理想结构中存在9个原始边界条件（pi、Qi、ci，i=1，2，3），但各边界条件之间存在如下内在相互关系

在全部9个原始边界条件中，p₃用于式（5.1.5-7），Q₃用于式（5.1.5-8），c₃用于式（5.1.5- 9），p₂用于式（5.1.5-4），Q₂由式（5.1.5-10）限定，c₂由式（5.1.5-11）限定。因此，膜元件的理想结构中也仅有属于元件给水参数的p₁、Q₁、c₁三个边界条件为独立边界条件，而且分别构成了上述微分方程式中各微分量的初始值：

由于方程组中的多个未知函数均依赖于唯一的自变量l，故其为常微分方程组。且由于上述方程组中的待求量数与方程个数相等且导数数量与边界数量相等，故膜元件理想结构模型导出的反渗透膜元件运行数学模型具有唯一解。